题目

已知函数f（x）=ax³+bx²+c的图象过点（0，1），且在x=1处的切线方程为y=2x-1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在[0，m]上有最小值

19

27

，求实数m的取值范围．

提问时间：2020-12-29

答案

（1）∵f（x）=ax³+bx²+c，
∴f′（x）=3ax²+2bx，
∵函数f（x）=ax³+bx²+c的图象过点（0，1），
且在x=1处的切线方程为y=2x-1，
∴

f(0)＝c＝1 f′(x)＝3a+2b＝2 a+b+c−2＝−1

，
解得a=2，b=-2，c=1，
∴f（x）=2x³-2x²+1．
（2）∵f（x）=2x³-2x²+1，
∴f′（x）=6x²-4x，
令f′（x）=6x²-4x=0，得x₁=0，x₂=

2

3

，
∵f（0）=1，
f（

2

3

）=4×

8

27

-2×

4

9

+1=

19

27

，
∵f（x）在[0，m]上有最小值

19

27

，
∴m≥

2

3

．
∴实数m的取值范围[

2

3

，+∞）．

（1）由f′（x）=3ax²+2bx，函数f（x）=ax³+bx²+c的图象过点（0，1），且在x=1处的切线方程为y=2x-1，建立方程组，能够求出f（x）．
（2）由f（x）=2x³-2x²+1，知f′（x）=6x²-4x，令f′（x）=6x²-4x=0，得x₁=0，x₂=

2

3

，由此进行求解，能够求出实数m的取值范围．

本题考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评：本题考查函数的解析式的求法，考查满足条件的实数值的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．