题目
如图,三棱柱ABC-A1B1 C1中,侧棱AA1⊥平面ABC,AB=BC=AA1=2,AC=2
,E,F分别是A1B,BC的中点.
(Ⅰ)证明:EF∥平面AAlClC;
(Ⅱ)证明:AE⊥平面BEC.
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(Ⅰ)证明:EF∥平面AAlClC;
(Ⅱ)证明:AE⊥平面BEC.
提问时间:2020-12-29
答案
(I)连接A1C,则
∵△BA1C中,E,F分别是A1B,BC的中点.
∴EF∥A1C
∵EF⊄平面A AlClC,A1C⊂平面A AlClC,
∴EF∥平面A AlClC;
(II)∵△ABC中,AB=BC=2,AC=2
,
∴AB2+BC2=8=AC2,可得AB⊥BC
∵AA1⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴AA1⊥BC
∵AB、AA1是平面AA1B1B内的相交直线,∴BC⊥平面AA1B1B
∵AE⊂平面AA1B1B,∴AE⊥BC
∵△AA1B中,AB=AA1=2,∴AE⊥A1B
∵A1B、BC是平面A1BC内的相交直线,
∴AE⊥平面A1BC,即AE⊥平面BEC.
∵△BA1C中,E,F分别是A1B,BC的中点.
∴EF∥A1C
∵EF⊄平面A AlClC,A1C⊂平面A AlClC,
∴EF∥平面A AlClC;
(II)∵△ABC中,AB=BC=2,AC=2
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∴AB2+BC2=8=AC2,可得AB⊥BC
∵AA1⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴AA1⊥BC
∵AB、AA1是平面AA1B1B内的相交直线,∴BC⊥平面AA1B1B
∵AE⊂平面AA1B1B,∴AE⊥BC
∵△AA1B中,AB=AA1=2,∴AE⊥A1B
∵A1B、BC是平面A1BC内的相交直线,
∴AE⊥平面A1BC,即AE⊥平面BEC.
(I)连接A1C,在△BA1C中利用中位线定理,证出EF∥A1C,再结合线面平行的判定定理即可证出EF∥平面A AlClC;
(II)在△ABC中利用勾股定理的逆定理证出AB⊥BC,再由AA1⊥平面ABC证出AA1⊥BC,可得BC⊥平面AA1B1B.而AE⊂平面AA1B1B,所以AE⊥BC,等腰△AA1B中运用“三线合一”证出AE⊥A1B,最后利用线面垂直的判定定理,可得AE⊥平面BEC.
(II)在△ABC中利用勾股定理的逆定理证出AB⊥BC,再由AA1⊥平面ABC证出AA1⊥BC,可得BC⊥平面AA1B1B.而AE⊂平面AA1B1B,所以AE⊥BC,等腰△AA1B中运用“三线合一”证出AE⊥A1B,最后利用线面垂直的判定定理,可得AE⊥平面BEC.
直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定.
本题给出特殊的三棱柱,求证线面平行和线线垂直,着重考查了空间直线与平面垂直的判定与性质、线面平行的判定定理等知识,属于基础题.
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