题目

已知f（x）=ax²+bx+c．
（Ⅰ）当a=-1，b=2，c=4时，求f（x）≤1的解集；
（Ⅱ）当f（1）=f（3）=0，且当x∈（1，3）时，f（x）≤1恒成立，求实数a的最小值．

提问时间：2020-12-29

答案

（Ⅰ）当a=-1，b=2，c=4时，f（x）=-x²+2x+4，
则f（x）≤1即x²-2x-3≥0，
∴（x-3）（x+1）≥0，解得x≤-1，或x≥3．
所以不等式f（x）≤1的解集为{x|x≤-1，或x≥3}；
（Ⅱ）因为f（1）=f（3）=0，
所以f（x）=a（x-1）（x-3），f（x）=a（x-1）（x-3）≤1在x∈（1，3）恒成立，即−a≤

1

(x−1)(3−x)

在x∈（1，3）恒成立，
而0＜(x−1)(3−x)≤[

(x−1)+(3−x)

2

]2＝1，当且仅当x-1=3-x，即x=2时取到等号．     
∴

1

(x−1)(3−x)

≥1，
所以-a≤1，即a≥-1．
所以a的最小值是-1；
（Ⅱ）或f（x）=a（x-1）（x-3）≤1在x∈（1，3）恒成立，
即a（x-1）（x-3）-1≤0在x∈（1，3）恒成立．
令g（x）=a（x-1）（x-3）-1=ax²-4ax+3a-1=a（x-2）²-a-1．
①当a=0时，g（x）=-1＜0在x∈（1，3）上恒成立，符合；     
②当a＞0时，易知在x∈（1，3）上恒成立，符合；             
③当a＜0时，则-a-1≤0，所以-1≤a＜0．               
综上所述，a≥-1
所以a的最小值是-1．