题目

如图，一次函数y=-2x+2的图象与与坐标轴相交于A、B两点，点P（x，y）是线段AB（不含端点）上一动点，设△AOP的面积为S．
（1）求点B的坐标；
（2）求S关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当S=

1

2

时，试问在x轴上是否存在一点Q，使得PQ+BQ最小？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

提问时间：2020-12-29

答案

（1）当x=0时，y=-2×0+2=2，
即B（0，2）；
（2）当y=0时，0=-2x+2，
解得x=1，
∴A（1，0），即OA=1，
∴S_△AOP=

1

2

×OA×yP＝

1

2

×1×(−2x+2)＝−x+1，
即S=-x+1，其中0＜x＜1；
（3）∵S＝

1

2

，
∴

1

2

＝−x+1，
解得x＝

1

2

，
把x＝

1

2

代入y=-2x+2，可得y=1，
即P（

1

2

，1），
设B关于x轴的对称点为B′，连接PB′，交x轴于Q，Q点即为所求，如图．
∵B′（0，-2），设经过PB′的直线解析式为y=kx+b，于是

1＝ 1 2 k+b −2＝k•0+b

，
解得k=6，b=-2，
∴PB′的解析式为y=6x-2，
令y=0时，解得x＝

1

3

，
即Q（

1

3

，0）．

（1）从图中不难发现，点B在y轴上，即B点的横坐标为0，且点B在一次函数y=-2x+2的图象上，则将x=0代入即可求得y值，B点坐标即可确定．
（2）根据A点为一次函数y=-2x+2的图象与与x轴的交点，不难确定A点的坐标为（1，0）．再运用三角形的面积计算公式，即可用求得△AOP的面积为S关于x的解析式．
（3）首先根据（2）可求得P的坐标值．再设B关于x轴的对称点为B′，连接PB′，交x轴于Q，Q点即为所求．B′点的坐标根据B点坐标不难求得．因而利用P、B的坐标求得PB′的解析式，再联立组成方程组求得Q点的坐标值．

本题考点：一次函数综合题；轴对称-最短路线问题．

考点点评：本题是一次函数与三角形相结合的问题，在图形中渗透运动的观点是中考中经常出现的问题．