题目

已知函数f（x）=x+

1

x

提问时间：2020-12-29

答案

（1）奇函数
定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称
又∵f（-x）=−x+

1

−x

＝−(x+

1

x

)＝−f(x)
∴函数f（x）=x+

1

x

为（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数
（2）f（x）在（0，1]上的单调递减
0＜x₁＜x₂≤1，则0＜x₁x₂＜1，x₁-x₂＜0
∴f(x1)−f(x2)＝(x1−x2)+(

1

x1

−

1

x2

)
=(x1−x2)+(

x2−x1

x1x2

)=

(x1−x2)(x1x2−1)

x1x2

＞0
即f（x₁）＞f（x₂）
所以f（x）在（0，1]上的是单调递减函数