题目
己知:抛物线y=x2-(k+1)x+k
(1)试求k为何值时,抛物线与x轴只有一个公共点;
(2)如图,若抛物线与x轴交于A,B两点(点A在点B的左边),与y轴的负半轴交于点C,试问:是否存在实数k,使△AOC与△COB相似?若存在,求出相应的k的值;若不存在,请说明理由.
(1)试求k为何值时,抛物线与x轴只有一个公共点;
(2)如图,若抛物线与x轴交于A,B两点(点A在点B的左边),与y轴的负半轴交于点C,试问:是否存在实数k,使△AOC与△COB相似?若存在,求出相应的k的值;若不存在,请说明理由.
提问时间:2020-12-29
答案
(1)由题意可知;当y=0时,方程x2-(k+1)x+k=0,只有一个解,
即:△=(k+1)2-4k=(k-1)2=0,
∴k=1,
即:当k=1时,抛物线与x轴只有一个公共点.
(2)分两种情况进行讨论:
①当∠CAO=∠BCO时.
=
,
即CO2=AO•BO,
由于CO=k,AO•BO=-k,
k2=-k,k(k+1)=0,
∴k=0,k=-1.
当k=0时,C点与B点或A点重合,
因此不合题意舍去.
②当∠ACO=∠BCO时,
∵∠AOC=∠BOC=90°,OC=OC,
因此△AOC≌△BOC,那么y轴就是抛物线的对称轴,
即
=0,k=-1.
综上所述,当k=-1时,△AOC与△COB相似.
即:△=(k+1)2-4k=(k-1)2=0,
∴k=1,
即:当k=1时,抛物线与x轴只有一个公共点.
(2)分两种情况进行讨论:
①当∠CAO=∠BCO时.
CO |
AO |
BO |
CO |
即CO2=AO•BO,
由于CO=k,AO•BO=-k,
k2=-k,k(k+1)=0,
∴k=0,k=-1.
当k=0时,C点与B点或A点重合,
因此不合题意舍去.
②当∠ACO=∠BCO时,
∵∠AOC=∠BOC=90°,OC=OC,
因此△AOC≌△BOC,那么y轴就是抛物线的对称轴,
即
k+1 |
2 |
综上所述,当k=-1时,△AOC与△COB相似.
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