题目

至少任取（）个正整数,可以保证其中必存在6个数,它们的和是6的倍数.

提问时间：2020-12-29

答案

因为是 6 的倍数,所有数可以分为6类,6k、6k-1、6k-2、6k-3、6k-4、6k-5.反证
设这11个整数为：a1,a2,a3……a11 又6=2×3
①先考虑被3整除的情形
由例2知,在11个任意整数中,必存在：
3|a1+a2+a3,不妨设a1+a2+a3=b1；
同理,剩下的8个任意整数中,由例2,必存在：3 | a4+a5+a6.设a4+a5+a6=b2；
同理,其余的5个任意整数中,有：3|a7+a8+a9,设：a7+a8+a9=b3
②再考虑b1、b2、b3被2整除.
依据抽屉原理,b1、b2、b3这三个整数中,至少有两个是同奇或同偶,这两个同奇（或同偶）的整数之和必为偶数.不妨设2|b1+b2
则：6|b1+b2,即：6|a1+a2+a3+a4+a5+a6
∴任意11个整数,其中必有6个数的和是6的倍数.