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题目
已知函数f(x)=x3-tx2+3x,若对于任意的a∈[1,2],b∈(2,3],函数f(x)在区间(a,b)上单调递减,则实数t的取值范围是(  )
A. (-∞,3]
B. (-∞,5]
C. [3,+∞)
D. [5,+∞)

提问时间:2020-12-29

答案
∵函数f(x)=x3-tx2+3x,f′(x)=3x2-2tx+3,
若对于任意的a∈[1,2],b∈(2,3],函数f(x)在区间(a,b)上单调递减,
则f′(x)≤0即3x2-2tx+3≤0在[1,3]上恒成立,
f′(1)=3−2t+3≤0
f′(3)=27−6t+3≤0
,解得t≥5,
故选D.
由题意可得f′(x)≤0即3x2-2tx+3≤0在[1,3]上恒成立,由二次函数的性质可得不等式组.

利用导数研究函数的单调性.

本题主要考查函数的单调性和导数符号间的关系,二次函数的性质,属于中档题.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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