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题目
如图,在△ABC中,∠BAC=108゜,AB=AC,BD平分∠ABC,交AC于D,求证:BC=CD+AB.(用两种方法)

提问时间:2020-12-28

答案
法1:(截长法)在BC上取点E使BE=BA,连DE,
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠EBD,
在△ABD和△EBD中,
AB=EB
∠ABD=∠EBD
BD=BD

∴△ABD≌△EBD(SAS),
∴∠BAC=∠BED=108°,AB=EB,
∴∠DEC=72゜,
∵AB=AC,
∴∠C=∠ABC=36°,
∴∠CDE=72°,
∴∠CDE=∠CED=72°,
∴CD=CE,
则BC=BE+EC=AB+CD;
法2:(补短法)延长BA至E,使BE=BC,连DE,
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠EBD,
在△EBD和△CBD中,
EB=CB
∠ABD=∠CBD
BD=BD

∴△EBD≌△CBD(SAS),
∴DE=DC,∠E=∠C=36°,
∵∠EAD=72°,
∴∠EDA=∠EAD=72°,
∴EA=ED,
∴CD=DE=AE,
则BC=BE=AB+AE=AB+CD.
法1:(截长法)在BC上取点E使BE=BA,连DE,由BD为角平分线,得到一对角相等,再由AB=EB,BD为公共边,利用SAS得出三角形ABD与三角形EBD全等,由全等三角形的对应边相等得到AB=EB,对应角相等得到∠BAC=∠BED=108°,利用邻补角定义及内角和定理求出∠CDE=∠CED=72°,利用等角对等边得到CD=CE,由BC=BE+EC,等量代换即可得证;
法2::(补短法)延长BA至E,使BE=BC,连DE,由BD为角平分线,得到一对角相等,再由CB=EB,BD为公共边,利用SAS得出三角形CBD与三角形EBD全等,利用全等三角形的对应边等,对应角相等得到ED=CD,∠E=∠C=36°,利用邻补角定义及内角和定理求出∠ADE=∠DAE=72°,利用等角对等边得到EA=ED,等量代换得到AE=DC,由BC=BE=BA+AE,等量代换即可得证.

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