题目

设A1=2,An+1=2/（1+An）,求An通项..
求详解,感激不尽.
.谢...

提问时间：2020-12-28

答案

设实数x
A(n+1)+x=2/(A(n)+1)+x
=(xA(n)+x+2)/(A(n)+1)
等式两端同时取倒数,得
1/(A(n+1)+x)=(A(n)+1)/(xA(n)+x+2)
令分母上A(n)的系数和常数项成比例,即：
1/x=x/(x+2)
解得x=-1或x=2 (我个人比较倾向写正的,其实写负的也可以)
原式可化为：1/(A(n+1)+2)=(A(n)+1)/(2A(n)+4)=0.5[(A(n)+2-1)/(A(n)+2)]=0.5[1-1/(A(n)+2)]
令Bn=1/(A(n)+2)
则：
B(n+1)=0.5-0.5B(n)
设实数y
B(n+1)+y=-0.5(B(n)+y)
解得y=-1/3
设C(n)=B(n)-1/3
则：C(n+1)=-0.5C(n)
于是C(n)通项可求,B(n)可求,A(n)可求