题目
数学天才进:如何计算3÷COS15°÷COS二分之15°÷COS四分之15°÷COS八分之15°÷COS十六分之15°÷……
提问时间:2020-12-28
答案
相当于求当n→∞时,A=3/[cos15°·cos(15°/2)·…·cos(15°/2^n)]的取值.
分子分母同时乘以 2^n·sin(15°/2^n),有
A= 3·2^n·sin(15°/2^n)/[cos15°·cos(15°/2)·…·2^n·sin(15°/2^n)·cos(15°/2^n)]
= 3·2^n·sin(15°/2^n)/【cos15°·cos(15°/2)·…·2^(n-1)·sin[15°/2^(n-1)]·cos[15°/2^(n-1)]】
= ……
= 3·2^n·sin(15°/2^n)/[cos15°·2·sin(15°/2)·cos(15°/2)]
= 3·2^n·sin(15°/2^n)/[cos15°sin15°]
= 3·2^n·sin(15°/2^n)/[1/2·2cos15°sin15°]
= 3·2^n·sin(15°/2^n)/[1/2·sin30°]
= 12·2^n·sin(15°/2^n)
取极限n→∞,由等价无穷小代换,有sin(15°/2^n)~15°/2^n
因此lim(n→∞)A= lim(n→∞) 12·2^n·sin(15°/2^n)
= lim(n→∞) 12·2^n·(15°/2^n)
= 12·π·15°/180°
= π
分子分母同时乘以 2^n·sin(15°/2^n),有
A= 3·2^n·sin(15°/2^n)/[cos15°·cos(15°/2)·…·2^n·sin(15°/2^n)·cos(15°/2^n)]
= 3·2^n·sin(15°/2^n)/【cos15°·cos(15°/2)·…·2^(n-1)·sin[15°/2^(n-1)]·cos[15°/2^(n-1)]】
= ……
= 3·2^n·sin(15°/2^n)/[cos15°·2·sin(15°/2)·cos(15°/2)]
= 3·2^n·sin(15°/2^n)/[cos15°sin15°]
= 3·2^n·sin(15°/2^n)/[1/2·2cos15°sin15°]
= 3·2^n·sin(15°/2^n)/[1/2·sin30°]
= 12·2^n·sin(15°/2^n)
取极限n→∞,由等价无穷小代换,有sin(15°/2^n)~15°/2^n
因此lim(n→∞)A= lim(n→∞) 12·2^n·sin(15°/2^n)
= lim(n→∞) 12·2^n·(15°/2^n)
= 12·π·15°/180°
= π
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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