题目

已知函数f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+2bx+c（a，b，c∈R），且函数f（x）在区间（0，1）内取得极大值，在区间（1，2）内取得极小值，则z=（a+3）²+b²的取值范围（　　）
A. （

2

2

，2）
B. （

1

2

，4）
C. （1，2）
D. （1，4）

提问时间：2020-12-28

答案

∵f（x）=

1

3

x3+

1

2

a x2+2bx+c
∴f′（x）=x²+ax+2b
∵函数f（x）在区间（0，1）内取得极大值，在区间（1，2）内取得极小值
∴f′（x）=x²+ax+2b=0在（0，1）和（1，2）内各有一个根
f′（0）＞0，f′（1）＜0，f′（2）＞0
即

b＞0 a+2b+1＜ a+b+2＞0

0

（a+3）²+b²表示点（a，b）到点（-3，0）的距离的平方，
由图知（-3，0）到直线a+b+2=0的距离

2

2

，平方为

1

2

为最小值，
由

a+2b+1＝0 a+b+2＝0

得（-3，1）
（-3，0）与（-3，1）的距离为1，
（-3，0）与（-1，0）的距离2，
所以z=（a+3）²+b²的取值范围为（

1

2

，4）
故选项为B

据极大值点左边导数为正右边导数为负，极小值点左边导数为负右边导数为正得a，b的约束条件，据线性规划求出最值．

本题考点：函数在某点取得极值的条件．

考点点评：本题考查函数极值存在条件及线性规划求最值．