题目
如图,在△ABC中,∠B=90°,O是AB上一点,以O为圆心,OB为半径的圆与AB交于E,与AC切于点D,直线ED交BC的延长线于F.
(1)求证:BC=FC;
(2)若AD:AE=2:1,求cot∠F的值.
(1)求证:BC=FC;
(2)若AD:AE=2:1,求cot∠F的值.
提问时间:2020-12-28
答案
(1)证明:连接BD.(1分)
∵BE是直径,
∴∠BDE=90°,
∴∠EBD=90°-∠BED.
∵∠EBF=90°
∴∠F=90°-∠BEF.
∴∠F=∠EBD.(2分)
∵⊙O切AC于D,
∴∠EBD=∠ADE=∠CDF.
∴∠F=∠CDF.
∴CD=CF,(3分)
∵OB⊥BC,
∴BC是⊙O的切线,
由切线长定理可知:CD=CB.
∴BC=FC.(4分)
(2)在△ADE和△ABD中,
∵∠A=∠A,∠ADE=∠ABD,
∴△ADE∽△ABD.(6分)
∴
=
,
∵AD:AE=2:1.
∴BD:DE=2:1,
又∵∠F=∠EBD.
∴cot∠F=cot∠EBD=
=2.(9分)
∵BE是直径,
∴∠BDE=90°,
∴∠EBD=90°-∠BED.
∵∠EBF=90°
∴∠F=90°-∠BEF.
∴∠F=∠EBD.(2分)
∵⊙O切AC于D,
∴∠EBD=∠ADE=∠CDF.
∴∠F=∠CDF.
∴CD=CF,(3分)
∵OB⊥BC,
∴BC是⊙O的切线,
由切线长定理可知:CD=CB.
∴BC=FC.(4分)
(2)在△ADE和△ABD中,
∵∠A=∠A,∠ADE=∠ABD,
∴△ADE∽△ABD.(6分)
∴
AE |
AD |
DE |
BD |
∵AD:AE=2:1.
∴BD:DE=2:1,
又∵∠F=∠EBD.
∴cot∠F=cot∠EBD=
BD |
DE |
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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