题目

a+b+c=abc,证明a(1-b²)(1-c²)+b(1-a²)(1-c²)+c(1-a²)(1-b²)=4abc

提问时间：2020-12-28

答案

a(1-b²)(1-c²)+b(1-a²)(1-c²)+c(1-a²)(1-b²)=a-ab²-ac²+ab²c²+b-ba²-bc²+ba²c²+c-ca²-cb²+ca²b²
=a+b+c+abc(b+a+c)-(ab²+ba²+ac²+bc²+ca²+cb²)=abc+(abc)²-ab(a+b)-bc(b+c)-ac(a+c)=
abc+(abc)²-ab(abc-c)-bc(abc-a)-ac(abc-b)=abc+(abc)²-a²b²c+abc-ab²c²+abc-ba²c²+abc
=4abc+(abc)²-abc(a+b+c)=4abc+(abc)²-abc(abc)=4abc