题目

正三棱锥P-ABC的四个顶点在同一球面上，已知AB=2

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，PA=4，则此球的表面积等于 ___ ．

提问时间：2020-12-28

答案

设P-ABC的外接球球心为O，则O在高PH上，延长AH交BC于D点，则D为BC中点，连接OA，∵等边三角形ABC中，H为中心∴AH=23AD=23•32AB=33•23=2∴Rt△PAH中，PH=PA2-AH2=23设外接球半径OA=R，则OH=23-R在Rt△AOH中，根据...

设P-ABC的外接球心为O，则O在高PH上，延长AH交BC于D点，则D为BC中点，连接OA．等边三角形ABC中，求出AH=

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AB=2，然后在Rt△PAH中，利用勾股定理求出PH=2

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，最后在Rt△AOH中，根据勾股定理建立关于外接球半径R的方程并解之得R=

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，用球的表面积公式可得P-ABC的外接球的表面积．

本题考点：球内接多面体；球的体积和表面积．

考点点评：本题给出正三棱锥的底面边长和侧棱长，求它的外接球表面积，着重考查了正三棱锥的性质和球内接多面体等知识，属于中档题．