题目
求二次函数解析式的几种常见给条件方式
提问时间:2020-12-27
答案
求二次函数的解析式是初中数学的重点和难点,同时也是初中和高中数学知识的一个衔接点,它所涉及的知识面广,解题技巧高,因此,要求学生必须熟练掌握,下面本人就二次函数最常见的几种解析式的求法作一简单阐述,仅供同行参考.
一、二次函数的一般式(三点式)、
已知三点坐标A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)时,可选用一般式y=ax2+bx+c (a≠0),将坐标值代入解析式后列成三元一次方程组,求出待定系数a、b、c即可.
例:已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的图像经过点(1,0)、(-1,6)、(2,3)、求这个二次函数的解析式. 设所求的二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),
∵抛物线经过三点( 1 , 0 )、( -1,6 )、( 2 , 3 )、
0=a+b+c 解得: a=2 6=a-b+c b=-3
3=4a+2b+c c=1
解析式为y=2x2-3x+1
二、二次函数的顶点式(配方式)、
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)经配方得y=a(x-h)2+k,结合图像可知(h,k),就是抛物线的顶点坐标.使用说明:若是题中有抛物线的顶点坐标(或对称轴和函数最值,且经过另一点,用顶点式求解较简便.)
例:抛物线的顶点坐标为(2,3),且经过一点(4,-1),求这个抛物线的解析式.
设所求的二次函数的解析式为y=a(x-h)2+k(a≠0),
∵ a(x-x1)(x-x2) 抛物线的顶点坐标为( 2 , 3 ),且经过一点( 4 , -1 ),
-1=a(4-2)2+3 得a=-1,
解析式为 y=-(x-2)2+3 ,即 y=-x2+4x-1 .
三、抛物线与 x 轴的交点坐标式 ∵二次三项式ax2+bx+c可以用求根公式法求解即ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2),因此,对于函数y=ax2+bx+c= a(x-x1)(x-x2),(a≠0)来说,x1,x2就是抛物线与x轴交点的横坐标.
说明:若题目中有抛物线与x轴的两个交点坐标,且还经过另一点,这时可用交点坐标式.
例:已知抛物线与x轴的两个交点坐标分别为(1,0)、(-3,0),又经过(-2,-1),求这个抛物线的解析式.
设所求的二次函数的解析式为 y= a(x-x1)(x-x2) ( a ≠ 0 ),
∵抛物线与 x 轴的两个交点坐标分别为( 1 , 0 )、( -3 , 0 ),又经过( -2 , -1 ),
-1=a ( -2-1 )( -2-3 ),得 a=1/3 ,
解析式为y=(x-1)(x+3)/3 = x2 /3+ x/3-1
综上所述,求二次函数的形式时,应根据已知条件恰当的选择二次函数解析式的表达形式
一、二次函数的一般式(三点式)、
已知三点坐标A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)时,可选用一般式y=ax2+bx+c (a≠0),将坐标值代入解析式后列成三元一次方程组,求出待定系数a、b、c即可.
例:已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的图像经过点(1,0)、(-1,6)、(2,3)、求这个二次函数的解析式. 设所求的二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),
∵抛物线经过三点( 1 , 0 )、( -1,6 )、( 2 , 3 )、
0=a+b+c 解得: a=2 6=a-b+c b=-3
3=4a+2b+c c=1
解析式为y=2x2-3x+1
二、二次函数的顶点式(配方式)、
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)经配方得y=a(x-h)2+k,结合图像可知(h,k),就是抛物线的顶点坐标.使用说明:若是题中有抛物线的顶点坐标(或对称轴和函数最值,且经过另一点,用顶点式求解较简便.)
例:抛物线的顶点坐标为(2,3),且经过一点(4,-1),求这个抛物线的解析式.
设所求的二次函数的解析式为y=a(x-h)2+k(a≠0),
∵ a(x-x1)(x-x2) 抛物线的顶点坐标为( 2 , 3 ),且经过一点( 4 , -1 ),
-1=a(4-2)2+3 得a=-1,
解析式为 y=-(x-2)2+3 ,即 y=-x2+4x-1 .
三、抛物线与 x 轴的交点坐标式 ∵二次三项式ax2+bx+c可以用求根公式法求解即ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2),因此,对于函数y=ax2+bx+c= a(x-x1)(x-x2),(a≠0)来说,x1,x2就是抛物线与x轴交点的横坐标.
说明:若题目中有抛物线与x轴的两个交点坐标,且还经过另一点,这时可用交点坐标式.
例:已知抛物线与x轴的两个交点坐标分别为(1,0)、(-3,0),又经过(-2,-1),求这个抛物线的解析式.
设所求的二次函数的解析式为 y= a(x-x1)(x-x2) ( a ≠ 0 ),
∵抛物线与 x 轴的两个交点坐标分别为( 1 , 0 )、( -3 , 0 ),又经过( -2 , -1 ),
-1=a ( -2-1 )( -2-3 ),得 a=1/3 ,
解析式为y=(x-1)(x+3)/3 = x2 /3+ x/3-1
综上所述,求二次函数的形式时,应根据已知条件恰当的选择二次函数解析式的表达形式
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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