题目

已知函数f（x）=x²+2x+alnx（a∈R）．
①当a=-4时，求f（x）的最小值；
②若函数f（x）在区间（0，1）上为单调函数，求实数a的取值范围；
③当t≥1时，不等式f（2t-1）≥2f（t）-3恒成立，求实数a的取值范围．

提问时间：2020-12-27

答案

①∵f（x）=x2+2x-4lnx（x＞0）∴f′(x)＝2x+2−4x＝2(x+2)(x−1)x（2分）当x＞1时，f'（x）＞0，当0＜x＜1时，f'（x）＜0∴f（x）在（0，1）上单调减，在（1，+∞）上单调增∴f（x）min=f（1）=3（4分）②f′(x)＝2...

①先求出其导函数，得到其在定义域上的单调性即可求出f（x）的最小值；
②先求出其导函数，把f（x）在（0，1）上单调增转化为2x²+2x+a≥0在x∈（0，1）上恒成立⇒a≥-2x²-2x恒成立，再利用二次函数在固定区间上求最值的方法求出-2x²-2x的最大值即可求实数a的取值范围；
③根据（2t-1）²+2（2t-1）+aln（2t-1）≥2t²+4t+2alnt-3恒成立则a[ln（2t-1）-2lnt]≥-2t²+4t-2⇒a[ln（2t-1）-lnt²]≥2[（2t-1）-t^{2再讨论他的取值范围}

本题考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．

考点点评：该题考查函数的求导，利用导数求函数的单调性，利用恒等式求函数的最值问题，注意不要掉了自变量的取值范围．