题目

已知函数f(x)=alnx+1/2x^2+x.
求(1)f(x)的单调区间 （2）函数g(x)=2/3x^3+x-1/6 (x>0),求：a=1时,f(x)的图像都不在g(x)上方

提问时间：2020-12-27

答案

f'(x)=a/x+x+1=(x²+x+a)/x (x>0)

令h(x)=x²+x+a,其对称轴为x=-1/2,h(0)=a
∴当a≥0时,h(x)>0,f'(x)=h(x)/x>0
f(x)的递增区间（0,+∞）
当a0,k(x)递增
∴x=1时,k(x)取得最小值
k(x)min=k(1)=2/3-1/6-0-1/2=0
∴k(x)≥0
即f(x)≤g(x) 恒成立
∴f(x)的图像都不在g(x)上方