题目

已知f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-2．
（1）求函数f（x）在[t，t+1]（t＞0）上的最小值；
（2）存在x₀∈[1，e]，使得f（x₀）≥g（x₀）成立，求实数a的取值范围．

提问时间：2020-12-27

答案

（1）求导函数可得：f′（x）=lnx+1，
当x∈（0，

1

e

），f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（

1

e

，+∞），f′（x）＞0，f（x）单调递增，
∴①0＜t＜t+1＜

1

e

时，没有最小值；
②t＜

1

e

＜t+1，0＜t＜

1

e

时，f（x）_min=f（

1

e

）=-

1

e

；
③

1

e

≤t＜t+1，即t≥

1

e

时，f（x）在[t，t+1]上单调递增，f（x）_min=f（t）=tlnt，
综上得f（x）_min=

− 1 e ，0＜t＜ 1 e tlnt，t≥ 1 e

；
（2）由已知，2xlnx≥-x²+ax-2，则a≤2lnx+x+

2

x

，
设h（x）=2lnx+x+

2

x

（x＞0），则h′（x）=

(x+2)(x−1)

x2

，
∵x∈[1，e]，∴h′（x）≥0，h（x）单调递增，
∴存在x₀∈[1，e]，使得f（x₀）≥g（x₀）成立，即a≤h（x）max=e+

2

e

+1．

（1）求导函数，确定函数的单调性，分类讨论，即可求得函数f（x）在[t，t+1]（t＞0）上的最小值；
（2）由已知分离参数，则a≤2lnx+x+

2

x

，设h（x）=2lnx+x+

2

x

（x＞0），因为存在x₀∈[1，e]，使得f（x₀）≥g（x₀）成立，故有a≤h（x）max，从而可求实数a的取值范围．

本题考点：利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评：本题主要考查了函数的极值，以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．