题目
已知数列{an}满足a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an(n∈N*).
(Ⅰ)证明:数列{an+1-an}是等比数列;
(Ⅱ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅲ)若数列{bn}满足4
(Ⅰ)证明:数列{an+1-an}是等比数列;
(Ⅱ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅲ)若数列{bn}满足4
提问时间:2020-12-27
答案
(Ⅰ)证明:∵an+2=3an+1-2an,
∴an+2-an+1=2(an+1-an),
∵a1=1,a2=3,
∴
=2(n∈N*).
∴{an+1-an}是以a2-a1=2为首项,2为公比的等比数列.
(Ⅱ) 由(Ⅰ){an+1-an}是以a2-a1=2为首项,2为公比的等比数列
得an+1-an=2n(n∈N*),
∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)++(a2-a1)+a1
=2n-1+2n-2++2+1
=2n-1(n∈N*).
(Ⅲ)证明:∵4b1-14b2-14bn-1=(an+1)bn,
∴4b1+b2+…+bn-n=2nbn
∴2[(b1+b2+…+bn)-n]=nbn,①
2[(b1+b2+…+bn+bn+1)-(n+1)]=(n+1)bn+1.②
②-①,得2(bn+1-1)=(n+1)bn+1-nbn,
即(n-1)bn+1-nbn+2=0.③
nbn+2-(n+1)bn+1+2=0.④
④-③,得nbn+2-2nbn+1+nbn=0,
即bn+2-2bn+1+bn=0,∴bn+2-bn+1=bn+1-bn(n∈N*),
∴{bn}是等差数列.
∴an+2-an+1=2(an+1-an),
∵a1=1,a2=3,
∴
an+2-an+1 |
an+1-an |
∴{an+1-an}是以a2-a1=2为首项,2为公比的等比数列.
(Ⅱ) 由(Ⅰ){an+1-an}是以a2-a1=2为首项,2为公比的等比数列
得an+1-an=2n(n∈N*),
∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)++(a2-a1)+a1
=2n-1+2n-2++2+1
=2n-1(n∈N*).
(Ⅲ)证明:∵4b1-14b2-14bn-1=(an+1)bn,
∴4b1+b2+…+bn-n=2nbn
∴2[(b1+b2+…+bn)-n]=nbn,①
2[(b1+b2+…+bn+bn+1)-(n+1)]=(n+1)bn+1.②
②-①,得2(bn+1-1)=(n+1)bn+1-nbn,
即(n-1)bn+1-nbn+2=0.③
nbn+2-(n+1)bn+1+2=0.④
④-③,得nbn+2-2nbn+1+nbn=0,
即bn+2-2bn+1+bn=0,∴bn+2-bn+1=bn+1-bn(n∈N*),
∴{bn}是等差数列.
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