题目

数列{an}的各项均为正数,Sn表示该数列前n项的和,对于任意的n∈N*,总有an,Sn,an²成等差数列
（1） 设数列求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{bn}的通项公式是bn＝an＋4ⁿ-¹(n∈N*),Bn是数列{bn}的前n项和.求证：不等式B(n+1)≤4B(n),对于任意n∈N*皆成立；
（3）记cn=9ⁿ(an+1)/10ⁿ,试问数列cn中有没有最大项,如果有,求出这个最大项；没有,说明理由.

提问时间：2020-12-27

答案

（1）2Sn=an+an²①
2S（n-1）=a（n-1）+a（n-1）²②
②-①2Sn-2S（n-1）=an+an²-a（n-1）-a（n-1）²
2an=an+an²-a（n-1）-a（n-1）²
an+a（n-1）=an²-a（n-1）²
∵数列{an}的各项均为正数
∴an+a（n-1）≠0
∴an-a（n-1）=1
∴数列{an}为等差数列
∴an=a1+（n-1）d
∵2S1=2a1=a1+a1²
a1=1
∴an=1+（n-1）=n
（2）bn＝an＋4ⁿ-¹=n+4ⁿ-¹
Bn=(1+2+……+n)+(1+4+……+4ⁿ-¹)=n*(n+1)/2+(4ⁿ-1)/3
B(n+1)=(n+1)*(n+2)/2+(4ⁿ-1)/3
B(n+1)-4B(n)=(n+1)*(n+2)/2+(4ⁿ+¹-1)/3-4*n*(n+1)/2-4*(4ⁿ-1)/3=1-(3n-2)（n+1）/2≤0
（3）cn=9ⁿ(an+1)/10ⁿ==9ⁿ(n+1)/10ⁿ=(n+1)(9/10)ⁿ
c(n+1)=(9/10)(n+2)(9/10)ⁿ
c(n+1)/cn=(9/10)(n+2)/(n+1)
当n≤8,{cn}为增数列,当n>8,{cn}为减数列,所以有最大项,为c8=0.387420489(还是些分数的好,这不知正误)
PS你那指数函数怎么打出来的啊?我找了半天不知道诶