题目

求证:m^4+4n^4一定可以表示为k个正整数的平方和(k≥3,m,n∈正整数)
求证：m^4+4n^4一定可以表示为k个正整数的平方和（k≥3,m、n∈正整数）

提问时间：2020-12-26

答案

一、当m＝n时,
　　m^4＋4n^4＝5m^4＝（m^2）^2＋（m^2）^2＋（m^2）^2＋（m^2）^2＋（m^2）^2.
　　此时,命题显然成立.
二、当m、n不等时,
　　m^4＋4n^4
　　＝m^4＋4（mn）^2＋4n^4－4（mn）^2
　　＝（m^2＋2n^2）^2－4（mn）^2
　　＝［（m^2＋2n^2）＋2mn］［（m^2＋2n^2－2mn］
　　＝［（m^2＋2mn＋n^2）＋n^2］［（m^2－2mn＋n^2）＋n^2］
　　＝［（m＋n）^2＋n^2］［（m－n）^2＋n^2］
　　＝［（m＋n）（m－n）］^2＋［（m＋n）n］^2＋［（m－n）n］^2＋（n^2）^2.
　　此时,命题也显然成立.
于是,问题得证.