题目

定义：若函数f（x）对于其定义域内的某一数x0,有f（x0）=x0,则称x0是f（x）的一个不动点
设f（x）=3x^2+x+a,g（x）=2ax+1
（1）若f（x）在（0,2）上没有不动点,求a的取值范围
（2）若对任意的x∈（0,1）,x-1＜f（x）-g（x）＜x+1恒成立,求a的取值范围

提问时间：2020-12-26

答案

定义：若函数f（x）对于其定义域内的某一数x0,有f（x0）=x0,则称x0是f（x）的一个不动点
其实就是f(x)和直线y=x有交点(x0,x0)
（1）若f（x）在（0,2）上没有不动点,也就是函数f(x)与函数y=x在(0,2)没有交点.
即3x^2+x+a=x在（0,2）没有根.
3x^2+a=0
设h(x)=3x^2+a在（0,2）与x轴没有交点.
根据二次函数图象得：
h(0)≥0或者h(2)≤0,a≥0或12+a≤0
所以a≥0或a≤-12
(2)f(x)-g(x)=3x^2+(1-2a)x+a-1
x-1＜f（x）-g（x）即3x^2-2ax+a≥0在(0,1)恒成立.
设k(x)=3x^2-2ax+a,则k(0)≥0且k(1)≥0
则0≤a≤3
f（x）-g（x）＜x+1即3x^2-2ax+a-2＜0在(0,1)恒成立.
设m(x)=3x^2-2ax+a-2,则k(0)≤0且k(1)≤0
a≤2且a≥1即1≤a≤2
0≤a≤3和1≤a≤2求交
得1≤a≤2