题目

设函数f（x）在闭区间[0 a]上连续,在（0 a）内可导,且f（0,a）=0,
证明：在（0,a）内至少存在一点s,使f（s）＋sf’（s）＝0
更正 ：且f（0 a）=0改为 f（a）=0

提问时间：2020-12-26

答案

思路：看到题目的模样,有两个联想
1.( sf(s) )' = 0,
2.罗尔定理.
证明：
构造函数g(x) = xf(x),易知g'(x) = f(x) + xf'(x)
由题知,g(x)在[0,a]上连续,在(0,a)可导,而且
g(0) = g(a) = 0
于是,由罗尔定理,在(0,a)内至少存在一点s,使g'(s) = 0
证毕.