题目
数学归纳法题
设P1,P2,P3...Pn,...是曲线y=x^1/2上的点列,Q1,Q2,...Qn,...是x轴正半轴上的点列,且三角形OQ1P1,三角形OQ2P2,...,三角形Qn-1QnPn,...都是正三角形,设他们的边长为a1,a2,...,an,...
求证a1+a2+...+an=n(n+1)/3
O点是原点
设P1,P2,P3...Pn,...是曲线y=x^1/2上的点列,Q1,Q2,...Qn,...是x轴正半轴上的点列,且三角形OQ1P1,三角形OQ2P2,...,三角形Qn-1QnPn,...都是正三角形,设他们的边长为a1,a2,...,an,...
求证a1+a2+...+an=n(n+1)/3
O点是原点
提问时间:2020-12-26
答案
从Qn-1QnPn来看,第二个三角形应该是Q1Q2P2吧.
这样先对于OQ1P1,直线y=(3^0.5)x 与 x=y^2相交 易求得y1=(3^0.5)/3,x1=1/3,于是边长a1是2/3=1×(1+1)/3,对n=1满足
假设对n=k满足等式,即有归纳假设a1+a2+...+ak=k(k+1)/3
则当n=k+1时,点Q[k]的横坐标x[k]=a1+a2+...+ak=k(k+1)/3
然后过点(x[k],0)作直线y=(3^0.5)(x - k(k+1)/3),求出与曲线交点纵坐标y[Pk+1],乘以2/3^0.5可得a[k+1].然后算出a[k+1]+k(k+1)/3=(k+1)(k+2)/2成立
综上,对一切自然数n,原式都成立.
这样先对于OQ1P1,直线y=(3^0.5)x 与 x=y^2相交 易求得y1=(3^0.5)/3,x1=1/3,于是边长a1是2/3=1×(1+1)/3,对n=1满足
假设对n=k满足等式,即有归纳假设a1+a2+...+ak=k(k+1)/3
则当n=k+1时,点Q[k]的横坐标x[k]=a1+a2+...+ak=k(k+1)/3
然后过点(x[k],0)作直线y=(3^0.5)(x - k(k+1)/3),求出与曲线交点纵坐标y[Pk+1],乘以2/3^0.5可得a[k+1].然后算出a[k+1]+k(k+1)/3=(k+1)(k+2)/2成立
综上,对一切自然数n,原式都成立.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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