题目

帮解道初中的几何题
一直角三角形,直角的顶点为A,BC角度、直角边长度任意
记BC即斜边中点为M
BA上有动点P,CA上有动点Q
求证三角形PMQ的周长大于BC

提问时间：2020-12-26

答案

证明给你看,照我说的去画图.
画一个ΔABC,A为直角,BC为斜边,在AB上任取一点P、在AC上任取一点Q,取BC中点M,连接PM、QM、PQ,以上是题目给出的图.
作辅助线：取AB中点D、AC中点E,连接DM、EM、DE,记PQ与DE的交点为O.
下面证明：
1、先证ΔDME的周长＞BC
由作图可知DM、EM、DE是ΔABC的三条中位线,因此ΔDME是直角三角形,∠DME是直角,且BC=2DE,在ΔDME中,DM+EM＞DE,则：DM+EM+DE＞DE+DE=2DE=BC,
即：ΔDME的周长＞BC.
2、再证ΔPMQ的周长≥ΔDME的周长
P、Q是动点,可能分别与D、E重合,则先看ΔOPD与ΔOQE：
1)、P、Q分别与D、E重合时,PD=QE=0,OP=OD,OQ=OE,此时OP+PD=OD,OQ+QE=OE；
2)、P、Q与D、E不重合时,在ΔOPD与ΔOQE中,有：OP+PD＞OD,OQ+QE＞OE；
综合1)、2),即有：
OP+PD≥OD ……………………………………………………………………（1）
OQ+QE≥OE ……………………………………………………………………（2）
（1）+（2）得：
OP+PD+OQ+QE≥OD+OE …………………………………………………………（3）
显然有：OP+OQ=PQ,OD+OE=DE,因此（3）即为：PQ+PD+QE＞DE,移项：
PQ≥DE-(PD+QE) ………………………………………………………………（4）
再看ΔPDM与ΔQEM：
3)、P、Q分别与D、E重合时,PD=QE=0,PM=DM,QM=EM,此时PD=PM-DM,QE=QM-EM；
4)、P、Q与D、E不重合时,ΔPDM与ΔQEM都是直角三角形,PM、QM为斜边,则有：
PD＜PM-DM,QE＜QM-EM
综合3)、4),即有：
PD≤PM-DM ……………………………………………………………………（5）
QE≤QM-EM ……………………………………………………………………（6）
（5）+（6）得：PD+QE≤PM-DM+QM-EM,两边同取负号,得：
-(PD+QE)≥DM+EM-(PM+QM) …………………………………………………（7）
将（7）代入（4）得：
PQ≥DE-(PD+QE)≥DE+DM+EM-(PM+QM),移项得：PQ+PM+QM≥DE+DM+EM,即：
ΔPMQ的周长≥ΔDME的周长
而前面已证得ΔDME的周长＞BC,因此ΔPMQ的周长≥ΔDME的周长＞BC,即：
ΔPMQ的周长＞BC.