题目

一个直角梯形分别以直角梯形的上底下底所在的直线为轴旋转一周,那个立体图形大?为什么?写出算式和求
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提问时间：2020-12-25

答案

设：直角梯形的高为h,直角梯形的上底为a（a>0 ）,直角梯形的下底为a+b（b>0 ）.
1.以直角梯形下底的直线为轴旋转一周,立体图形由圆柱体和圆锥体组成：
圆柱体体积Vb1 = 底面积 * 高（上底） =h^2 * 3.14 * a = 3.14 ah^2
圆锥体体积Vb2 = 底面积 * 高/3 =h^2 * 3.14 * b /3= 1.047bh^2
立体图形体积Vb = 圆柱体体积Vb1 + 圆锥体体积Vb2
=( 3.14a + 1.047b ) * h^2
2.以直角梯形上底的直线为轴旋转一周,立体图形由圆柱体减去圆锥体组成：
圆柱体体积Va1 = 底面积 * 高（下底） =h^2 * 3.14 * （a+b） = 3.14（a+b）h^2
圆锥体体积Va2 = 底面积 * 高/3 =h^2 * 3.14 * b /3= 1.047bh^2
立体图形体积Va = 圆柱体体积Va1 - 圆锥体体积Va2
= 3.14（a+b）h^2 - 1.047bh^2
= 3.14ah^2 + 3.141bh^2 - 1.047bh^2
= 3.14ah^2 + 2.094bh^2
= (3.14a + 2.094b）h^2
3.比较两立体图形体积的大小：
立体图形体积Va - 立体图形体积Vb
= ( 3.14a + 2.094b ) * h^2 - (3.14a + 1.047b）h^2
= 1.047b * h^2
答：以直角梯形上底的直线为轴旋转一周的立体图形体积大.
因为：圆锥体体积是底面积 * 高的三分之一.
以上底的直线为轴旋转一周,下底的直线作外圈旋转,是中间空的圆柱体.空的部分是圆锥体.
以下底的直线为轴旋转一周,上底的直线作外圈旋转,下底的直线是轴线,上面部分是圆锥体.
所以：以直角梯形上底的直线为轴旋转一周的立体图形体积大.