题目

如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=1,CB=根号2,侧棱AA1=1,侧面AA1B1B的

提问时间：2020-12-25

答案

证明：如图以C为原点建立坐标系．
（1）B（根号 2,0,0）,B1（ 根号2,1,0）,A1（0,1,1）,
D（ 2分之根号2,1/2,1/2）,
M（ 2分之根号2,1,0）,CD=（ 2分之根号2,1/2,1/2）,A1B=（ 根号2,-1,-1）,DM=（0,1/2,-1/2）,CD•
A1B=0,
CD•
DM=0,
∴CD⊥A1B,CD⊥DM．
因为A1B、DM为平面BDM内两条相交直线,
所以CD⊥平面BDM．
（2）设BD中点为G,连接B1G,
则G (
4分之3倍根号2,
1/4,
1/4),BD=（- 2分之根号2,1/2,1/2）,B1G=(-
4分之根号2,-
3/4,
1/4),
∴BD•
B1G=0,∴BD⊥B1G,
又CD⊥BD,∴CD与 B1G的夹角θ等于所求二面角的平面角,
cos θ=
CD•
B1G|
CD|•|
B1G|=-
3分之根号3．
又由于二面角A-BD-C的平面角与面B1BD与面CBD所成二面角互补
所以所求二面角的大小为arccos 3分之根号3．
分析：（1）建立空间直角坐标系,求出相关向量计算
CD
•
A1B
=0,
CD
•
DM
=0即得证,
（2）求出面B1BD与面CBD的法向量,利用向量的数量积求解可得答案．