题目

已知命题p：“对任意x∈[1，2]，x²-a≥0”，命题q：“存在x∈R，x²+2ax+2-a=0”若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．

提问时间：2020-12-25

答案

“对任意x∈[1，2]，x²-a≥0”．
则a≤x²，
∵1≤x²≤4，
∴a≤1，即命题p为真时：a≤1．
若“存在x∈R，x²+2ax+2-a=0”，
则△=4a²-4（2-a）≥0，
即a²+a-2≥0，
解得a≥1或a≤-2，
即命题q为真时：a≥1或a≤-2．
若“p∧q”是真命题，
则p，q同时为真命题，
即

a≤1 a≥1或a≤−2

解得a=1或a≤-2．
实数a取值范围是a=1或a≤-2．

求出命题p，q为真命题的等价条件，利用“p且q”是真命题，即可求a的取值范围．

本题考点：复合命题的真假．

考点点评：本题考查了复合命题的真假判断，求出命题P、q的为真时的等价条件是解答本题的关键．