题目

对于任意xy 有f（x+y）=f（x）f（y）且x>0,f（x）>1,证明f（x）在R上为增函数

提问时间：2020-12-25

答案

f(0)=[f(0)]^2
∴f(0)*[f(0)-1]=0
解得:f(0)=0或f(0)=1
∵当x＞0时,
f(x)=f(x)*f(0)＞1
∴f(0)≠0
∴
f(0)=1
f(0)=f(x-x)=f(x)*f(-x)=1
∴f(-x)=1/f(x)
∴
对于任意x∈R,有：f(x)＞0
（PS：以上是证明f(x)恒大于0,这样才可以进行比较）
设,a＜b,(a,b∈R)
则：
f(b)=f[a+(b-a)]=f(a)*f(b-a）
∵b-a＞0
∴f(b-a)＞1
∴f(b)/f(a)=f(b-a)＞1
∵f(b)＞0,f(a)＞0
∴f(b)＞f(a)
∴f(x)在R上为增函数
哪里还有疑问,再补充吧……