题目

△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的中垂线交AB于D，交CA延长线于E，求证：DE=

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2

BC．

提问时间：2020-12-24

答案

证明：
过A作AH⊥BC于H，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴BH=

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BC，∠BAH=

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∠BAC=60°，∠EAD=60°=∠BAH，
∵DE是线段AB的中垂线，
∴∠EDA=∠AHB=90°，AE=BE，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=AB，
在△EDA和△BHA中

∠EDA＝∠BHA ∠EAD＝∠BAH AE＝AB

∴△EDA≌△BHA（AAS），
∴DE=BH，
∵BH=

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BC，
∴DE=

1

2

BC．

过A作AH⊥BC于H，根据等腰三角形性质得出BH=

1

2

BC，∠BAH=

1

2

∠BAC=60°，求出AE=BE，得出等边三角形ABE，推出AE=AB，根据AAS证△EDA≌△BHA，推出DE=BH即可．

本题考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．

考点点评：本题考查了线段垂直平分线性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．