题目

已知分数1/A是一个循环节为6位的纯循环小数,问满足条件的自然数A共有多少个

提问时间：2020-12-24

答案

1/A=0.a1a2a3a4a5a6a1a2a3a4a5a6.
0.a1a2...a6...*A=1=0.999999.
因此a1a2a3a4a5a6为999999的约数
999999=3^3*7*11*13*37
共有(3+1)*(1+1)^4=64个约数
然后由于是6位循环节,因此其中1001=7*11*13和10101=3*7*13*37的倍数是不行的（这样a1a2a3=a4a5a6或a1a2=a3a4=a5a6,循环节是3位或2位甚至可能是1位)
1001的倍数有（3+1）(1+1)=8个
10101的倍数有(2+1)(1+1)=6个
既是1001又是10101的倍数有3个即111111,333333,999999
因此符合条件的A有
64-8-6+3=53个