题目

根号下1+e^x 的不定积分

提问时间：2020-12-24

答案

由题意可得:令t=1+e^x,所以x=ln(t-1)其中t>1
原式=∫√（1+e^x)dx=∫√t/(t-1)dt=∫√t/(t-1)d(t-1)
=∫(√t+1-1/(√t-1)(√t+1)d(t-1)
=∫[1/(√t-1)-1/(t-1)]d(t-1)
分别分析两个不定积分
第一个积分 ∫[1/(√t-1)d(t-1)=∫[1/(√t-1)d(√t+1)(√t-1)
令√t-1=a,则√t=a+1代人可得上式)=∫[1/ada(a+2)=
∫(2/a+2)da=2lna+2a+C,将a=√t-1代人可得2ln(√t-1)+2(√t-1)+C
第二个积分∫1/(t-1)d(t-1)=ln(t-1)+C
两者相减得2ln(√t-1)+2(√t-1)+C-ln(t-1)
将t=1+e^x代人有2ln[√(1+e^x)-1]+2[√(1+e^x)-1]-lne^x+C
=2ln[√(1+e^x)-1]+2[√(1+e^x)-1]-x+C
所以=∫√（1+e^x)dx=2ln[√(1+e^x)-1]+2[√(1+e^x)-1]-x+C