题目

设矩阵B＝

0 0 1 0 1 0 1 0 0

.已知矩阵A相似于B，则秩（A-2E）与秩（A-E）之和等于（　　）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5

提问时间：2020-12-23

答案

因为矩阵A相似于B，
于是有矩阵A-2E与矩阵B-2E相似，矩阵A-E与矩阵B-E 相似，
且相似矩阵有相同的秩，而：
r（B-2E）=r

−2 0 1 0 −1 0 1 0 −2

=3，r（B-E）=r

−1 0 1 0 0 0 1 0 −1

=1，
∴r（A-2E）+r（A-E）=r（B-2E）+r（B-E）=4，
故选：C．

利用相似矩阵有相同的秩计算，秩（A-2E）与秩（A-E）之和等于秩（B-2E）与秩（B-E）之和．

本题考点：相似矩阵的性质．

考点点评：若A～B，则f（A）～f（B），且相似矩阵有相同的行列式、相同的秩和相同的特征值等性质．