题目

如图,在四棱锥P-ABCD,PA⊥底面ABCD,△ABC,△ACD都是等腰直角三角形,其中∠ABC=∠ACD=90°,E是PD中点,
求证CE//PAB、
底面是直角梯形

提问时间：2020-12-23

答案

如图,在四棱锥P-ABCD,PA⊥底面ABCD,△ABC,△ACD都是等腰直角三角形,其中∠ABC=∠ACD=90°,E是PD中点,
求证CE//PAB、
底面是直角梯形
【证明】我不知道“底面是直角梯形”是否是证明的一部分,如果是应该放在CE//PAB前面才好,以为证明CE//PAB,要用到这个结论.
先证明四棱锥P-ABCD的底面是一个直角梯形
因为,△ABC,△ACD都是等腰直角三角形
所以：∠BAC=∠CAD=45度
于是：∠BAD=∠BAC+∠CAD=90度
由于：∠ABC=90度
所以：ABCD为梯形（BC//AD)而该梯形有90度的内角,故：ABCD为直角梯形
设：AB=a,则BC=a,由勾股定理AC=根号2*a,
因为：,△ACD是等腰直角三角形且∠ACD=90°
所以：CD=根号2*a,勾股定理,AD=2a
过E做AD垂线,设垂足为F,连接EF
由于：PA垂直ABCD 故PA垂直AD
所以：EF//PA 由于E为PD中点,故F点还为AD的中点
因此：AF=1/2AD=BC 如此：CD//AB
综上所述：EF//平面PAB、CD//平面PAB
所以：平面CDF//平面PAB
而CE为平面CDF上的一条直线
当然有：CE//平面PAB
【OK】