题目
已知函数f(x)=x^3-x在(0,a]上递减,在[a,+∞)上递增,求a的取值范围.
提问时间：2020-12-22
答案
f(x)＝x^3－x
则f'(x)＝3x^2－1
令f'(x)＝0,得x＝±√3/3
当x∈(－√3/3,√3/3)时,f'(x)＜0,f(x)单调递减；
当x∈(－∞,－√3/3)和(√3/3,＋∞)时,f'(x)＞0,f(x)单调递增；
要使f(x)在(0,a]上递减,在[a,＋∞)上递增,则有：
a≤√3/3且a≥√3/3
故a＝√3/3.
则f'(x)＝3x^2－1
令f'(x)＝0,得x＝±√3/3
当x∈(－√3/3,√3/3)时,f'(x)＜0,f(x)单调递减；
当x∈(－∞,－√3/3)和(√3/3,＋∞)时,f'(x)＞0,f(x)单调递增；
要使f(x)在(0,a]上递减,在[a,＋∞)上递增,则有：
a≤√3/3且a≥√3/3
故a＝√3/3.
举一反三
已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．
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