题目

设f-1(x)是函数f(x)=1/2(a^x-a^-x) (a>1)的反函数,则f-1(x)>1成立的x的取值范围为

提问时间：2020-12-22

答案

f-1(x)是函数f(x的反函数,所以
使 f-1(x) 的值域 大于 1 成立的x定义域
就是
f(x) 在 定义域 大于 1 上的值域.
为此,求 x > 1 时,f(x) = 1/[2(a^x - a^-x)] 的值域
（这里请问楼主 a^x - a^-x 是在分母还是分子上,你没有表达清楚.我按照在分母上来理解.如果是分子的话,那么就更简单了）
设 a^x = t
因为 a > 1 , x > 1 所以
t > 1
g(t) = t - 1/t
当 t 趋近于1时,g(t) 趋近于 0；当t趋进正无穷时,g(t) 也趋进正无穷.
因此
g(t) ∈(0, +∞）
即 a^x - a^-x ∈ (0,+∞)
1/[2(a^x - a^-x) ∈ (0, +∞)
即 f(x) 在定义域 x > 1 上的 值域 是 （0,+∞）
那么其反函数在 (0, +∞) 上的 值域 就是 x > 1
所求x的范围是 x > 0