题目

已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h₁、h₂、h₃，△ABC的高为h．“若点P在一边BC上（如图1），此时h₃=0，可得结论h₁+h₂+h₃=h”．请直接应用上述信息解决下列问题：

（1）当点P在△ABC内（如图2），（2）点P在△ABC外（如图3）这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，h₁、h₂、h₃与h之间的关系如何？请写出你的猜想，不需证明．

提问时间：2020-12-22

答案

（1）当点P在△ABC内时，结论h₁+h₂+h₃=h仍然成立．
理由如下：过点P作BC的平行线，交AB于G，交AC于H，交AM于N，则可得结论h₁+h₂=AN．
∵四边形MNPF是矩形，
∴PF=MN，即h₃=MN．
∴h₁+h₂+h₃=AN+MN=AM=h，
即h₁+h₂+h₃=h．

（2）当点P在△ABC外时，结论h₁+h₂+h₃=h不成立．此时，它们的关系是h₁+h₂-h₃=h．
理由如下：过点P作BC的平行线，与AB、AC、AM分别相交于G、H、N，则可得结论h₁+h₂=AN．
∵四边形MNPF是矩形，
∴PF=MN，即h₃=MN．
∴h₁+h₂-h₃=AN-MN=AM=h，
即h₁+h₂-h₃=h．