题目

量子力学中这两个算符的叉积怎么求?
两个算符的叉积C×C怎么求?
算符C定义如下：C = p + eA
其中矢量A满足如下关系：B = ∇× A和 ∇•A = 0（B为磁场矢量）,p为动量算符.

提问时间：2020-12-21

答案

把叉乘写成 ε_{abc} C_b C_c,_{abc}表示下指标abc,这里用到爱因斯坦求和约定,即重复指标求和.
然后C_b= p_b + eA_b,乘C_c后得：p_b p_c+ p_b (eA_c)+(eA_b)p_c+e^2 A_b A_c.由于p和p对易,对于电磁场是阿贝尔规范场,即A与A对易,所以p和p的叉乘还有A和A的叉乘都是0.有贡献的是中间的两项,而选择空间表象时动量算符可以写成 -i h-bar D_b,这里打不出偏微分符号就用D表示吧,同样的下指标b是取1,2,3表示三个方向.
现在求ε_{abc} p_b (eA_c)作用在态ψ上后为
-i h-bar ε_{abc} D_b [ (eA_c)ψ]=-i h-bar ε_{abc} [D_b(eA_c)] ψ -i h-bar ε_{abc} (eA_c)D_b(ψ)
而ε_{abc} (eA_b)p_c作用在态ψ上后给出：
-i h-bar ε_{abc} (eA_b)D_c(ψ)
对比第一个式子的等号后面第二项和第二个式子,把第二个式子的ε_{abc}的bc指标交换成cb,给出一个符号,则求和后和第一式子等号后第二项消掉,所以最终结果就是：
-i h-bar ε_{abc} [D_b(eA_c)] =-i h-bar ∇× A= -i h-bar B
总结一下关键的地方就是,对于对易的量,自身叉乘为0,但对于非对易的量（本题指的是算符C）自身叉乘不会给出0.