题目

在半径为1的圆周上按顺序均匀分布着A1,A2,A3,A4,A5,A6六个点,则向量A1A2*A2A3+A2A3*A3A4+
A3A4*A4A5+A4A5*A5A6+A5A6*A6A1+A6A1*A1A2=?

提问时间：2020-12-21

答案

均匀分布不就是每个向量之间相差60度么?那么他们的差是单位向量,差与差之间夹角分别为120度.用复数的指数形式,A3A4,A4A5,A5A6,A6A1,A1A2可以分别表示为e^(t),e^(t+2pi/3),e^(t+4pi/3),e^(t),e^(t+2pi/3)其中
e^(t) e^(t+2pi/3)=e^(2t+2pi/3)
e^(t+2pi/3) e^(t+4pi/3)=e^(2t)
e^(t+4pi/3) e^(t)=e^(2t+4pi/3)=e^(2t-2pi/3)
而e^(2t-2pi/3)+e^(2t+2pi/3)= cos(2t+2pi/3) +cos(2t-2pi/3) +isin(2t+2pi/3) +isin(2t-2pi/3)
=2cos2t cos2pi/3 +2isin2tcos2pi/3 = cos2t+isin2t
所以所有的乘积加起来就可以得到一个关于t的复数.答案是3考虑的是t=0的特殊情况