题目

一道函数一致连续性的题
设函数f在区间I上满足一致连续,证明：f的绝对值的（1／m）次方（m为正整数）在区间I上一致连续

提问时间：2020-12-21

答案

g(x）= x^(1/m),x>=0.
g(x)在[0,2]上一致连续,因为[0,2]是有界闭区间,任何连续函数都在有界闭区间上一致连续.当 x1>x2>=1 时,
g(x1)-g(x2) = x1^(1/m) - x^2(1/m)
= (x1-x2)/ ( x1^((m-1)/m) + x1^((m-2)/m)x2^(1/m)+...+ x2^((m-1)/m))
< x1 - x2 (因为分母中每项都 >1)
所以 g(x)在[1,无穷大)上一致连续.所以 g(x) 在 x>=0 上一致连续.
f在区间I上 一致连续 ==》 |f|在区间I上一致连续 ==> g(|f|) 在区间I上一致连续.