题目

已知函数f（x）=log_a（a^x-1）（a＞0且a≠1）．求证：
（1）函数f（x）的图象在y轴的一侧；
（2）函数f（x）图象上任意两点连线的斜率都大于0．

提问时间：2020-12-21

答案

证明：（1）由a^x-1＞0得：a^x＞1，
∴当a＞1时，x＞0，即函数f（x）的定义域为（0，+∞），
此时函数f（x）的图象在y轴的右侧；
当0＜a＜1时，x＜0，即函数f（x）的定义域为（-∞，0），
此时函数f（x）的图象在y轴的左侧．
∴函数f（x）的图象在y轴的一侧；
（2）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）是函数f（x）图象上任意两点，且x₁＜x₂，
则直线AB的斜率k＝

y1−y2

x1−x2

，
y1−y2＝loga(ax1−1)−loga(ax2−1)＝loga

ax1−1

ax2−1

，
当a＞1时，由（1）知0＜x₁＜x₂，∴1＜ax1＜ax2，
∴0＜ax1−1＜ax2−1，
∴0＜

ax1−1

ax2−1

＜1，∴y₁-y₂＜0，又x₁-x₂＜0，∴k＞0；
当0＜a＜1时，由（1）知x₁＜x₂＜0，∴ax1＞ax2＞1，
∴ax1−1＞ax2−1＞0，
∴

ax1−1

ax2−1

＞1，∴y₁-y₂＜0，又x₁-x₂＜0，∴k＞0．
∴函数f（x）图象上任意两点连线的斜率都大于0．