题目
是否存在质数p,q使得关于x的一元二次方程px^2-qx+p=0有有理根
提问时间：2020-12-20
答案
两根和x1+x2=q/p
两根积x1x2=p/p=1,即两根互为倒数
x2=1/x1
x1+1/x1=q/p
令x1=a/b,(a,b)=1
a/b+b/a=(a^2+b^2)/(ab)=q/p
因(a,b)=1,所以(a^2+b^2,ab)=1,故分母上的ab不能约去因数
故此p包含有ab,为质数的情况只能a,b其中一个为1或-1
不妨令a=1,则：(1+b^2)/b=q/p
得：p=b,q=1+b^2
若b为奇质数,则q为偶数,不符,所以b只能为奇质数2,此时p=2,q=5
所以2x^2-5x+2=0即符合要求,其解为2与1/2
两根积x1x2=p/p=1,即两根互为倒数
x2=1/x1
x1+1/x1=q/p
令x1=a/b,(a,b)=1
a/b+b/a=(a^2+b^2)/(ab)=q/p
因(a,b)=1,所以(a^2+b^2,ab)=1,故分母上的ab不能约去因数
故此p包含有ab,为质数的情况只能a,b其中一个为1或-1
不妨令a=1,则：(1+b^2)/b=q/p
得：p=b,q=1+b^2
若b为奇质数,则q为偶数,不符,所以b只能为奇质数2,此时p=2,q=5
所以2x^2-5x+2=0即符合要求,其解为2与1/2
举一反三
已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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