题目

关于反函数的图像的一些说法
1.y=f(x)和x=f-1（y)是不同的函数,但是它们的图像相同
2.x=f-1(y)和y=f-1(x)是相同的函数,但是它们的图像不同
这两个说法正确吗
我觉得肯定正确，反驳的人要说出理由
举例：
1.y=2x 和x=y/2 对应法则显然不同，比如2分别对应4和1，但是图像相同，因为后者是由前者推导得到的、
2.y=3x^2和x=3y^2 虽然自变量和因变量的符号相反，但是对应法则完全相同，是相同的函数。它们的图像是不同的

提问时间：2020-12-20

答案

这两个说法都是正确的
首先,先阐明一下函数的定义
设集X包含于R,如果有一个从X到R的对应法则f,是对每个x∈X在对应法则f之下都有唯一的y∈R与x对应则称这个对应法则f是X上的一个函数(科学出版社上册第6-7页)
也就是说函数是一种集合与集合之间的对应法则,一般来说,这些集合通常是数集.结合到这道题上,两个函数是不是相同的,据我对函数定义的理解,应取决于两者的对应法则是否一致.
f与f-1在这里是两种对应法则,所以第一个命题中f与f-1不同,因而不是一个函数；第二个命题中对应法都是f-1,因此是同一个函数.
由于惯性思维,通常人们认为x是自变量,而y是函数.实际上,这只是一种习惯.究竟是关于谁的函数,还要看对应法则所确定的映射关系是以谁为原像的.
至于函数图像,通常横轴上的点用来表示x的坐标,纵轴上的点与y值对应,画函数图像时,可将函数的解析式看作是一个关于(x,y)的方程,对待它就像对待椭圆的方程,双曲线的方程一样,没什么特殊的,x和y地位是平等的,画图像时不用考虑谁是自变量谁是函数,x的值就往x轴上对应,y的值就往y轴上对应,就是如此.