题目

如果向量b可以用向量α1,α2,...,αs线性表示,证明表示方法唯一的充分必要条件是α1,α2,...,αs线性无关

提问时间：2020-12-20

答案

1,若α1,α2,...,αs线性相关,存在一组不全为零的数有a1α1+a2α2+...+asαs=0
若b=b1α1+b2α2+...+bsαs=b1α1+b2α2+...+bsαs+0=b1α1+b2α2+...+bsαs+a1α1+a2α2+...+asαs
那么b的坐标不唯一

2,若b的坐标不为一,设为
b=b1α1+b2α2+...+bsαs=a1α1+a2α2+...+asαs
那么b1α1+b2α2+...+bsαs-（a1α1+a2α2+...+asαs）=0
(b1-a1)α1+(b2-a2)α2+...+(bs-as)αs=0
显然,(b1-a1),(b2-a2),...,(bs-as)不全为零（因为坐标不同）
故α1,α2,...,αs线性相关.

b的坐标不唯一的充要条件是α1,α2,...,αs线性相关

故命题成立.