题目

设P是直线l：2x+y+9=0上的任一点，过点P作圆x²+y²=9的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，则直线AB恒过定点___．

提问时间：2020-12-20

答案

因为P是直线l：2x+y+9=0上的任一点，所以设P（m，-2m-9），
因为圆x²+y²=9的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，
所以OA⊥PA，OB⊥PB，
则点A、B在以OP为直径的圆上，即AB是圆O和圆C的公共弦，
则圆心C的坐标是（

m

2

，-

2m+9

2

），且半径的平方是r²=

m2+(2m+9)2

4

，
所以圆C的方程是(x-

m

2

)2+(y+

2m+9

2

)2=

m2+(2m+9)2

4

，①
又x²+y²=9，②，
②-①得，mx-（2m+9）y-9=0，即公共弦AB所在的直线方程是：mx-（2m+9）y-9=0，
即m（x-2y）-（9y+9）=0，
由

x-2y=0 9y+9=0

得，

x=-2 y=-1

，
所以直线AB恒过定点（-2，-1），
故答案为：（-2，-1）．

根据题意设P的坐标为（m，-2m-9），由切线的性质得点A、B在以OP为直径的圆C上，求出圆C的方程，将两个圆的方程相减求出公共弦AB所在的直线方程，再求出直线AB过的定点坐标．

本题考点：A:圆的切线方程 B:恒过定点的直线

考点点评：本题考查了直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，圆的切线性质，以及直线过定点问题，属于中档题．