题目

如图，BD为⊙O的直径，点A是弧BC的中点，AD交BC于E点，AE=2，ED=4．

（1）求证：△ABE∽△ABD；
（2）求tan∠ADB的值；
（3）延长BC至F，连接FD，使△BDF的面积等于8

3

，求∠EDF的度数．

提问时间：2020-12-20

答案

（1）证明：∵点A是弧BC的中点，∴∠ABC=∠ADB，又∵∠BAE=∠BAE，∴△ABE∽△ADB．（3分）（2）∵△ABE∽△ADB，∴AB2=2×6=12，∴AB=23，在Rt△ADB中，tan∠ADB=236＝33．（3分）（3）连接CD，则∠BCD=90°；由（2...

（1）由于A是弧BC的中点，故∠ADB=∠ABC，再加上公共角∠A，即可证得所求的三角形相似．
（2）由（1）的相似三角形所得比例线段，可求得AB的长，进而可在Rt△ABD中，求得∠ABD的正切值．
（3）连接CD，由（2）知∠ADB=30°，那么∠CDE=30°，∠CED=60°，由DE的长即可得到CD的值，进而可由△BDF的面积求得BF的长，进而可求得EF=ED=4，由此可证得△EDF是正三角形，即可得∠EDF的度数．

本题考点：相似三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；解直角三角形．

考点点评：此题主要考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理、圆心角、弧的关系、等边三角形的判定和性质等知识，难度适中．