题目

已知点P到点F（2,0）的距离比它到直线X+4=0的距离小2,若记点P的轨迹为曲线C
问：若直线L与曲线C相交于A.B两点,且OA垂直于OB
求证：直线L过定点,并求出该点的坐标

提问时间：2020-12-20

答案

1）易得点P到定点F(2,0)与到定直线x+2=0距离相等
由抛物线第二定义知
P的轨迹为抛物线y^2=2px且p/2=2,p=4
所求轨迹方程为y^2=8x
2）依题可设
A(8k^2,8k),B(8/k^2,-8/k)
AB斜率（存在）
K(AB)=(yA-yB)/(xA-xB)
=(k+1/k)/(k^2-1/k^2)
=1/(k-1/k)
=k/(k^2-1)
AB直线l方程可设为
y=k(AB)(x-xA)+yA
即　y=[k/(k^2-1)](x-8k^2)+8k
整理有
y=[k/(k^2-1)](x-8)
易得l过定点(8,0),证毕.