题目

已知a1＝2,点(an,an＋1)在函数f(x)＝x2＋2x的图象上,其中n＝1,2,3,….
(1)证明数列{lg(1＋an)}是等比数列；
(2)设Tn＝(1＋a1)(1＋a2)…(1＋an),求Tn及数列{an}的通项．

提问时间：2020-12-20

答案

(1)由已知an＋1＝a2n＋2an,
∴an＋1＋1＝(an＋1)2.
∵a1＝2,∴an＋1＞1,两边取对数得：
lg(1＋an＋1)＝2lg(1＋an),
即lg(1＋an＋1)lg(1＋an)＝2
∴{lg(1＋an)}是公比为2的等比数列．
(2)由(1)知lg(1＋an)＝2n－1•lg(1＋a1)
＝2n－1•lg3＝lg32n－1
∴1＋an＝32n－1.(*)
∴Tn＝(1＋a1)(1＋a2)…(1＋an)
＝320•321•322•…•32n－1
＝31＋2＋22＋…＋2n－1＝32n－1.
由(*)式得an＝32n－1－1.
龙者轻吟为您解惑,凤者轻舞闻您追问.
请点击[满意答案];如若您有不满意之处,请指出,我一定改正!
希望还您一个正确答复!
祝您学业进步!