题目

已知函数f（x）=-x³+ax²-x-1在（-∞，+∞）上是单调函数，则实数a的取值范围是（　　）
A. (−∞，−

3

]∪[

3

，+∞)
B. [−

3

，

3

]
C. (−∞，−

3

)∪(

3

，+∞)
D. (−

3

，

3

)

提问时间：2020-12-19

答案

由f（x）=-x³+ax²-x-1，得到f′（x）=-3x²+2ax-1，
因为函数在（-∞，+∞）上是单调函数，
所以f′（x）=-3x²+2ax-1≤0在（-∞，+∞）恒成立，
则△=4a2−12≤0⇒−

3

≤a≤

3

，
所以实数a的取值范围是：[-

3

，

3

]．
故选B

由f（x）的解析式求出导函数，导函数为开口向下的抛物线，因为函数在R上为单调函数，所以导函数与x轴没有交点，即△小于等于0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到实数a的取值范围．

本题考点：利用导数研究函数的单调性．

考点点评：此题考查学生会利用导函数的正负确定函数的单调区间，掌握函数恒成立时所取的条件，是一道综合题．